USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – IME – 2021.2 – Questão 1
Sejam e duas funções que admitem derivadas de qualquer ordem, tais que e são os respectivos polinômios de Taylor de ordem em torno de .
Assinale, dentre as alternativas abaixo, precisamente aquelas que são verdadeiras (marcar uma incorreta descontará nota):
Escolha uma ou mais:
O polinômio de Taylor de ordem para a função , em torno de , é
Se é o polinômio de Taylor de ordem de em torno de , então .
Se , para algum , então .
Se é uma função par, então é a soma de monômios com potências pares de .
Passo 1
Oiie, tudo bem contigo?
Para essa questão o que mais importa é a definição de um polinômio de Taylor, já que com ela conseguimos argumentar a favor (ou contra) cada uma das alternativas! A definição é a seguinte
Isso é mais do que suficiente! Bora lá!
Passo 2
Primeiro vamos analisar a afirmativa . E para isso, vou propor uma função . Vamos aplicar a primeira derivada de , temos que
Pela regra de Leibniz (ou regra do produto). Ou seja, os termos de derivada estão errados na afirmativa . Vamos para a alternativa .
Passo 3
Para resolver isso aqui vale a pena lembrar do enunciado que é o polinômio de ordem de , portanto, temos que
O que acontece se derivarmos este polinômio??? Saca só! Temos que
Como temos que , e que
Podemos escrever que
Vamos ter que fazer uma pequena mudança no que está escrito acima para verificar a alternativa! Saca só!
Passo 4
Vamos chamar , portanto, temos que
Se chamarmos de , temos que
Como é só o nome do índice, e podemos mudar isso a vontade, temos que
Então a alternativa é verdadeira, agora, será que a é? Vamos checar!
Passo 5
Para a alternativa é mais conveniente procurar um contra exemplo, vamos ver a expansão em primeira ordem das funções e . Temos
E também
Ou seja, e . Aqui, só por completeza da explicação, note que os polinômios de Taylor são aproximações realizadas nos arredores de um valor específico. Muitas funções podem ter comportamentos similares nos arredores de um ponto, mas isso não diz nada sobre o comportamento não-local da função. Vamos checar a última afirmação agora!
Passo 6
Agora vamos analisar uma função par, ou seja, que obedece a relação
Se derivarmos esta função dos dois lados, temos que
O que indica que , essa é a única maneira de algo ser igual ao seu negativo! Mas e a segunda derivada resulta em que? Saca só! Temos
Note que se eu derivar novamente, o sinal negativo retorna, e, portanto, a derivada terceira deverá ser nula! Essa análise se repete, anulando todos os termos de derivadas ímpares, e mantendo apenas os termos de derivadas pares, portanto, a definição de polinômio de Taylor toma a forma
Ou seja, é a soma de monômios com potências pares de . Assim, podemos dizer que a alternativa e estão corretas! A questão foi isso, vamos para a próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Alternativa e .