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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2020, VF, Q3A

Calcule ou mostre que não existe.

  1. lim x → 0 ⁡ 1 x x 5 arctan ⁡ x 5 - 3 arctan ⁡ x 3

  2. lim x → 0 ⁡ 1 x 3 ( arcsin ⁡ 2 x - 2 arcsin ⁡ x )

Passo 1

Faaala pessoal! Clássica questãozinha do glorioso Instituto Militar de Engenharia. Podemos resolver aplicando L’Hôpital (derivando numerador e denominador) ou por o-pequeno e séries de Taylor. O legal é que se for uma função que tu conhece a expansão de cabeça a questão fica rápida, do contrário tem que deduzir a expansão e nesse caso L’Hôpital se torna mais simples.

AQUI tem coragem, então vou mostrar por o-pequeno e Taylor. A expansão polinomial de Taylor do arctan ⁡ x em torno de x = 0 é dada por:

f x = arctan ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k  

Com isso, temos:

f x = arctan ⁡ x ⇒ f 0 = 0

f ' x = 1 1 + x 2 ⇒ f ' 0 = 1

f ' ' x = - 2 x 1 + x 2 2 ⇒ f ' ' 0 = 0

f 3 x = - 2 ⋅ 1 + x 2 2 - x ⋅ 2 1 + x 2 ⋅ 2 x 1 + x 2 4 ⇒ f 3 0 = - 2

Aqui entra a notação o-pequeno. Pra não usarmos toda a expansão (preste atenção na questão a importância do grau máximo que queremos) fazemos:

f x = x 1 ! - 2 x 3 3 ! + …

= x - x 3 3 + o ( x 3 )

Onde o x 3 indica funções que divididas por x 3 tendem a 0 quando x → 0 .

Passo 2

Partindo para o limite com a expansão, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 x x 5 arctan ⁡ x 5 - 3 arctan ⁡ x 3 =

= lim x → 0 ⁡ 1 x x 5 x 5 - 1 3 x 5 3 + o x 5 3 - 3 x 3 - 1 3 x 3 3 + o x 3 3 =

= lim x → 0 ⁡ 1 x x x - 1 3 x x 1 25 + o x x - x + 1 3 x x 1 9 + o ( x x ) =

= lim x → 0 ⁡ 1 x x 1 3 x x 1 9 - 1 25 + o x x + o ( x x ) =

= lim x → 0 ⁡ 1 x x 1 3 x x 16 225   + o x x =

= lim x → 0 ⁡ 16 675 + 1 x x o ( x x ) =

= 16 675

Uma vez que por definição:

l i m x → 0 1 x x o x x = 0

De fato, se conhecemos a expansão de Taylor apenas o passo 2 é necessário.

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 x x 5 arctan ⁡ x 5 - 3 arctan ⁡ x 3 = 16 675

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