Calcule o polinômio de Taylor das funções cos(x) e sen(x) até ordem 6 no ponto x = 0 . Quem é maior cos(4/5) ou sin(3/5) ?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

lembrando de como é o polinômio de Taylor de sexta ordem em zero

P n = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' v 0 4 ! x 4 + f v 0 5 ! x 5 + f v i 0 6 ! x 6

Sendo assim, precisamos encontrar os valores de derivada, aplicar em zero e montar nosso polinômio! Depois disso é só jogar os valores que ele pede e comparar os valores!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Começando pelo seno: f x = sin ⁡ x

f 0 = 0

f ' x = cos ⁡ x ; f ' 0 = 1

f ' ' x = - sin ⁡ x ; f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = - cos ⁡ x ; f ' ' ' 0 = - 1

f i v x = sin ⁡ x ; f ' v 0 = 0

f v x = cos ⁡ x ; f v 0 = 1

f v i x = - sin ⁡ x ; f ' 0 = 0

Substituindo no polinômio temos

P n = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' v 0 4 ! x 4 + f v 0 5 ! x 5 + f v i 0 6 ! x 6

sin ⁡ x = x - 1 6 x 3 + 1 120 x 5

E vamos calcular seno de 3 / 5 :

sin ⁡ 3 / 5 = 3 5 - 1 6 3 5 3 + 1 120 3 5 5 =   70581 125000 = 0,5646

Beleza?

Passo 3

Agora com o cosseno: f x = cos ⁡ x

f 0 = 1

f ' x = - sin ⁡ x ; f ' 0 = 0

f ' ' x = - cos ⁡ x ; f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' x = sin ⁡ x ; f ' ' ' 0 = 0

f i v x = cos ⁡ x ; f ' v 0 = 1

f v x = - sin ⁡ x ; f v 0 = 0

f v i x = - cos ⁡ x ; f ' 0 = - 1

Substituindo no polinômio temos

P n = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' v 0 4 ! x 4 + f v 0 5 ! x 5 + f v i 0 6 ! x 6

cos ⁡ x = 1 - 1 2 x 2 + 1 24 x 4 - 1 7 20 x 6

E vamos calcular cosseno de 4 / 5 :

cos ⁡ 4 / 5 = 1 - 1 2 4 5 2 + 1 24 4 5 4 - 1 720 4 5 6 = 489869 703125 = 0 , 6967

Beleza?

Vemos portanto que cos ⁡ 4 5 > sin ⁡ 3 5

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

cos ⁡ 4 5 > sin ⁡ 3 5

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