USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.11a
Use o seguinte roteiro para provar que é irracional.
Use a Fórmula de Taylor com resto de Lagrange para provar que, para cada número inteiro temos
,
onde satisfaz .
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos que demonstrar que o número é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, o primeiro é
Use a Fórmula de Taylor com resto de Lagrange para provar que, para cada número inteiro temos
,
onde satisfaz .
Vamos relembrar a fórmula de Taylor com resto de Lagrange que tem a forma
em que o teorema do Resto de Lagrange indica que
Vamos tentar resolver isso!
Passo 2
Para obter a forma do polinômio de Taylor de uma constante é bastante prático considerar uma função que seja o número elevador à , em nosso caso temos a bela vantagem de termos como resultado a função
cujas derivadas é ela própria! Desta maneira, se escrevermos o polinômio em torno de , obtemos que
note que se fizermos , temos que
e, portanto
Vamos analisar agora o limite sobre o resto!
Passo 3
Temos que o resto de lagrange da função em torno de , é tal que
se , isso se torna
Mas quem é ?? é um valor escolhido tal que obedece a seguinte desigualdade
escrevendo a nossa função, temos que
com , obtemos simplesmente o vínculo
ou seja, o menor inteiro que obedece a desigualdade é , portanto, temos que
de forma que podemos garantir que
O primeiro passo do roteiro foi esse! Vamos para o próximo!
Resposta
Ao longo dos passos!