Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2 , calcule um valor aproximado e avalie o erro.

a) raiz(8,2, 3)

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar um polinômio de Taylor de ordem 2 que nos dê um valor aproximado para 8,2 3 e, em seguida, avaliar o erro dessa aproximação.

Um polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em x 0 tem essa cara aqui:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

Então, para encontrar uma aproximação para a nossa função, vamos precisar da primeira e da segunda derivada dela. Em seguida, vamos assumir um valor para x 0 próximo ao que queremos aproximar e substituir tudo na equação do polinômio.

Para avaliar o erro E ( x ) dessa aproximação, vamos usar:

E x = f ' ' ' ( x ) 3 ! x - x 0 3

De modo que f x - P ( x ) ≤ E ( x ) . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de f x = x 3 :

f ' x = 1 3 x 3 2

f ' ' x = - 2 9 x 3 5

Agora vamos assumir x 0 = 8 e substituir nas derivadas:

f ' 8 = 1 3 8 3 2 = 1 12

f ' ' 8 = - 2 9 8 3 5 = - 1 144

Com isso, substituindo no polinômio de Taylor de ordem 2 :

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

P x = f 8 + f ' 8 x - 8 + f ' ' 8 2 x - 8 2

O polinômio vai ficar:

P x = 2 + 1 12 x - 8 - 1 288 x - 8 2

Assim, para f x = 8,2 3 , vamos ter o valor aproximado fazendo x = 8,2 :

P 8,2 = 2 + 1 12 8,2 - 8 - 1 288 8,2 - 8 2

P 8,2 = 2,0165 2777

Passo 3

Feito isso, vamos avaliar o erro dessa aproximação usando:

E x = f ' ' ' ( x ) 3 ! x - x 0 3

Por isso, vamos calcular a terceira derivada da função, usando o valor da segunda derivada encontrada no passo anterior ( f ' ' x = - 2 9 x 3 5 ):

f ' ' ' x = 10 27 x 3 8

Sabendo que f 8,2 = 8,2 3 , que P 8,2 = 2,01652777 e usando f x - P ( x ) ≤ E ( x ) , temos:

8,2 3 - 2,01652777 ≤ 10 27 8 3 8 8,2 - 8 3

8,2 3 - 2,01652777 ≤ 0,00000578703

8,2 3 - 2,01652777 ≤ 10 - 5

Portanto, o erro é da ordem de 10 - 5 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P 8,2 = 2,01652777

8,2 3 - 2,01652777 ≤ 10 - 5

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