UNICAMP – Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 6.4Parte1
Mostre que o polinômio de Taylor, de qualquer ordem,
Parte1: de é sempre uma função par
Parte 2: e que o polinômio de Taylor de de qualquer ordem, é sempre uma função ímpar.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
lembrando de como é o polinômio de Taylor de sexta ordem em zero
Sendo assim, precisamos encontrar os valores de derivada, aplicar em zero e montar nosso polinômio! Depois disso é só verificar a paridade de cada função!
Sabemos que uma função é par quando
Mas e o que isso tem a ver com o polinômio? Isso vai acontecer quando as potências do nosso polinômio forem todas pares! Assim trocar o sinal não vai alterar em nada o valor da função!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Começando com o cosseno:
E em :
Agora vamos derivar e aplicar em zero sucessivas vezes
Você percebe que apenas as derivadas de ordem par sobrevivem?
É isso! O cosseno é uma função par porque apenas as potências pares são diferentes de zero!
Substituindo no polinômio temos
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!