Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de x_0 dado.

f(x) = sen(x), x₀ = π / 4

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f x e aplicar o ponto x 0 = π 4 , vamos lá:

f x = sen ⁡ x → f π 4

Vamos lembrar quem é π 4 através de uma regra de três:

360 ° - - - 2 π

x - - - - π 4

x = π 4 360 2 π = 90 π 2 π = 45 °

Opa, e sabemos quanto vale s e n 45 ° = 2 / 2 , certo?

Logo,

f π 4 = 2 / 2

f ' x = f ' sen ⁡ x = cos ⁡ x

f ' π 4 = 2 2

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 0 + f ' 0 x - π 4

P x = 2 2 + 2 2 x - π 4

Resposta

P x = 2 2 + 2 2 x - 2 8 π

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