UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 7.1c
Determine as séries de Taylor das seguintes funções com centro x = 0.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos pede pra fazer a expansão de Taylor da função com centro em x = 0. Bem, a gente sabe que uma função f(x) arbitrária pode ser escrita como
Onde é a n-ésima derivada da função f(x) calculada no ponto x=0 e aqui é o valor de x ao redor do qual estamos fazendo a expansão. Como estamos expandindo com centro em , temos que a nossa expansão será com polinômios simples de x. Assim, começamos com a primeira derivada de , que vem a ser .
Mas antes de continuarmos com as derivadas de ordem superior, primeiro vamos relembrar uma coisa que agora vai parecer aleatória, mas daqui a pouco vai fazer sentido: a fórmula de uma soma infinita de elementos de uma progressão geométrica com razão menor que 1. No caso de uma progressão geométrica com valor inicial e razão , temos que a soma de todos os elementos converge para
A forma dessa expressão é idêntica a primeira derivada da função , se fizermos as identificações: e . Então, vamos primeiro tentar expandir a derivada de e depois integrá-la para obter a série de . Vamos lá!
Passo 2
Como estamos expandindo para x menores que 1 em módulo, temos que a condição da razão da P.G é satisfeita. Então, podemos escrever essa função como a soma infinita de uma progressão geométrica com razão igual à , que será menor que 1, visto que . Então, usando a fórmula da soma infinita de uma P.G, podemos escrever como
Dessa expressão, já percebemos que a série só possui os termos com potências pares de x, devido ao expoente 2n. Além disso, temos um sinal que se alterna constantemente para cada termo, mas encontramos uma expressão polinomial (infinita) que representa a derivada da função , dada por
Então, para obtermos uma série para propriamente dita, só precisamos integrar a expressão acima!
Passo 3
Agora que temos uma expressão para a derivada, vamos integrar a função de ambos os lados. Assim, obtemos
Sabendo que a integral de é justamente (por isso começamos a discussão com a expansão dela) e, como a série à direita da equação converge, podemos inverter a ordem de integração e do somatório. Então, ficamos com
A gente sabe integrar um polinômio de grau 2n, é só adicionar 1 ao expoente e dividir tudo pelo expoente mais 1. Assim, ficamos com
Para descobrir o valor da constante de integração, basta fazer x = 0, pois nesse caso, do lado esquerdo temos que e todos os termos da série do lado direito se anulam, então, a constante de integração também tem que ser nula (C = 0). Assim, temos que a série de Taylor da função é dada por