USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.2a
Mostre que
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que o erro da função quando aproximado por é menor ou igual a . Isso porque, para a segunda ordem, o erro associado pode ser escrito na forma:
Onde é o erro dado por:
Consegue perceber as semelhanças com o que foi dado? Podemos ver que é uma aproximação do erro para ordem , com . Assim, para demonstrar, devemos primeiro calcular as derivadas da função até a ordem . Depois aplicar o ponto e substituir no polinômio de Taylor de ordem :
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas de :
Agora vamos aplicar nas derivadas e para :
Passo 3
Agora podemos substituir tudo no polinômio de Taylor de ordem :
E nosso polinômio fica:
Passo 4
Feito isso, devemos avaliar o erro :
Por isso, vamos derivar encontrada no passo , substituir na fórmula e arbitrar :
Então,
Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉