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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.5a

(a) Seja n > 0 um inteiro ímpar. Mostre que:

sin ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! + … + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 ! ,   ∀   x ∈ R

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a desigualdade é verdadeira. Para isso, vamos achar o polinômio de Taylor de ordem n + 1 de f x = sen ⁡ x em torno de x 0 = 0 , sabendo que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Então, vamos calcular as derivadas de f ( x ) , ir aplicando ao ponto x 0 = 0 e substituir na fórmula do polinômio. Em seguida, vamos avaliar o erro dessa aproximação e ver se ele é igual a expressão do enunciado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos achar o polinômio de Taylor de ordem n + 1 de f x em volta de x 0 = 0 :

Calculando as derivadas de f x e aplicando ao ponto x 0 = 0 vamos ter:

f x = sen ⁡ x → f 0 = 0

f ' x = f ' sen ⁡ x = cos ⁡ x → f ' 0 = 1

f ' ' x = f ' ' cos ⁡ x = - sen ⁡ x → f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = f ' ' ' - sen ⁡ x = - cos ⁡ x → f ' ' ' 0 = - 1

f 4 x = f 4 - cos ⁡ x = - - sen ⁡ x = sen ⁡ x → f 4 0 = 0

f 5 x = f 5 sen ⁡ x = cos ⁡ x → f 5 0 = 1

Passo 3

Substituindo ficamos com:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n 0 n ! x - 0 n

P x = 0 + 1 x + 0 2 x 2 + - 1 3 ! x 3 + 0 4 ! x 4 + 1 5 ! x 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 n ! x - 0 n

Simplificando:

P x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ - 1 n - 1 2 x n n !  

Assim temos que:

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ - 1 n - 1 2 x n n ! = f n + 2 x - n + 2 ! x n + 2

Como f n + 2 x - ≤ 1 , temos que a desigualdade é válida.

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0