(a) Seja um inteiro ímpar. Mostre que:
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a desigualdade é verdadeira. Para isso, vamos achar o polinômio de Taylor de ordem de em torno de , sabendo que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:
Então, vamos calcular as derivadas de , ir aplicando ao ponto e substituir na fórmula do polinômio. Em seguida, vamos avaliar o erro dessa aproximação e ver se ele é igual a expressão do enunciado.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos achar o polinômio de Taylor de ordem de em volta de :
Calculando as derivadas de e aplicando ao ponto vamos ter:
Passo 3
Substituindo ficamos com:
Simplificando:
Assim temos que:
Como , temos que a desigualdade é válida.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉