UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 2ª Lista de Exercícios, Questão 7.1a
Determine as séries de Taylor das seguintes funções com centro x = 0.
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos pede pra fazer a expansão de Taylor da função cosseno com centro em x=0. Bem, a gente sabe que uma função f(x) arbitrária pode ser escrita como
Onde é a n-ésima derivada da função f(x) calculada no ponto x=0 e aqui é o valor de x ao redor do qual estamos fazendo a expansão. Então para expandir cosseno, a gente vai ter que derivar! Vamos lá!
Passo 2
Se derivarmos cos(x) uma vez, o que obtemos? Obtemos a função -sen(x). E se derivarmos sen(x), o que obtemos? Cos(x)! E se derivarmos mais uma vez, o que obtemos? Sen(x)… Percebeu um padrão? Conforme continuamos a derivar cos(x) obtemos algo proporcional ou a cos(x), se for uma derivada de ordem par, ou sen(x) se for uma derivada de ordem ímpar. Além disso, como sen(x) no ponto x = 0 é nulo, todos os termos da expansão de Taylor que contiverem sen(x) serão nulos! Com isso, a gente tem que a nossa série de Taylor só possui os termos pares, pois esses termos são proporcionais a cos(0), que é 1. Mas tem um sinal chato que fica alternando, percebeu?
, em x = 0, igual à 0
, em x = 0, igual à -1
em x = 0, igual à 0
, em x = 0, igual à 1
E assim por diante. Então, vemos que o primeiro termo não nulo tem valor -1, o segundo 1, o terceiro será -1 e assim por diante. Então, além de poder ignorar os termos de n ímpar, temos um padrão para o sinal dos termos. Com isso em mente, vamos escrever a nossa série!
Passo 3
Como os termos ímpares não contribuem, podemos escrever o n! do denominador como 2n, pois assim, para qualquer n do somatório, garantimos que o fatorial será de um número par. Além disso, como para o primeiro termo não nulo, o coeficiente é igual à -1, para o segundo termo não nulo, o coeficiente não nulo é 1, para o terceiro termo não nulo o coeficiente é igual à -1 (e assim por diante), podemos escrever essa alternância de sinal com a ordem do termo não nulo como . Juntando essas informações, podemos escrever a série de Taylor centrada em x = 0 como