USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.6a
(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem da função em torno de .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o polinômio de Taylor de ordem da função em torno de . A expressão geral do polinômio de Taylor tem a forma:
Então, o que nós vamos fazer é derivar a função , aplicar o ponto e substituir na forma do polinômio.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas de :
Então, a derivada de vai ser sempre igual a .
Passo 3
Para , temos:
E isso também vai se repetir nas derivadas:
Então, para todo natural e positivo e todo pertencente aos reais, no polinômio de Taylor de ordem :
Teremos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 sen x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0