(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem n da função f x = e x em torno de x 0 = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o polinômio de Taylor de ordem n da função f x = e x em torno de x 0 = 0 . A expressão geral do polinômio de Taylor tem a forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Então, o que nós vamos fazer é derivar a função f ( x ) , aplicar o ponto x 0 = 0 e substituir na forma do polinômio.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de f x = e x :

f ' x = e x

f ' ' x = e x

f ' ' ' x = e x

f n x = e x

Então, a derivada de f x = e x vai ser sempre igual a e x .

Passo 3

Para f x 0 = f ( 0 ) , temos:

f 0 = e 0 = 1

E isso também vai se repetir nas derivadas:

f n 0 = e 0 = 1

Então, para todo n natural e positivo e todo x pertencente aos reais, no polinômio de Taylor de ordem n :

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Teremos:

P x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + x n n !

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + x n n !

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