USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 3, Questão 1.7
Seja n natural ímpar. Mostre que, para todo
Passo 1
Vamos provar essa desigualdade usando o Teorema do Valor Médio para funções contínuas.
Primeiro, vamos observar a fórmula de Taylor com forma integral (Teorema do Valor Médio de Taylor):
Onde é o resto da fórmula de Taylor.
Agora, consideremos a função e o intervalo , onde são números reais. O Teorema do Valor Médio afirma que existe um número entre tal que:
No nosso caso, então:
Agora, aplicaremos o Teorema do Valor Médio novamente, mas para a função no intervalo
onde é um número entre
Passo 2
Substituindo essa expressão de na primeira equação, temos:
Simplificando:
Agora, notamos que está entre 0 e 1 para qualquer d, o que nos permite escrever:
Substituindo novamente na equação, temos:
Passo 3
Agora, aplicando a fórmula de Taylor com forma integral para e observando que a derivada de dependendo da paridade de , podemos escrever:
Onde e estão entre
Substituindo na desigualdade, temos:
Simplificando:
Agora, sabemos que então podemos escrever:
Passo 4
Por fim, notamos que de acordo com o Teorema do Resto de Lagrange.
Juntando tudo, temos:
onde é o polinômio de Taylor de ordem da função centrado em .
Agora, considere para simplificar. Assim, obtemos:
Observe que é constante, dependendo apenas de e não depende do valor de
Portanto, podemos escrever:
onde é uma constante que depende apenas de .
Isso mostra que a desigualdade é válida para todo
Resposta
Isso mostra que a desigualdade é válida para todo