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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2020, VF, Q3B

Calcule ou mostre que não existe.

  1. lim x → 0 ⁡ 1 x x 5 arctan ⁡ x 5 - 3 arctan ⁡ x 3

  2. lim x → 0 ⁡ 1 x 3 ( arcsin ⁡ 2 x - 2 arcsin ⁡ x )

Passo 1

Faaala pessoal! Clássica questãozinha do glorioso Instituto Militar de Engenharia. Podemos resolver aplicando L’Hôpital (derivando numerador e denominador) ou por o-pequeno e séries de Taylor. O legal é que se for uma função que tu conhece a expansão de cabeça a questão fica rápida, do contrário tem que deduzir a expansão e nesse caso L’Hôpital se torna mais simples.

AQUI tem coragem, então vou mostrar por o-pequeno e Taylor. A expansão polinomial de Taylor do arc sin ⁡ x em torno de x = 0 é dada por:

f x = arc sin ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k  

Com isso, temos:

f x = arc sin ⁡ x ⇒ f 0 = 0

f ' x = 1 1 - x 2 ⇒ f ' 0 = 1

f ' ' x = - 1 2 ⋅ - 2 x 1 - x 2 3 2 = x 1 - x 2 3 2 ⇒ f ' ' 0 = 0

f 3 x = 1 - x 2 3 / 2 - x ⋅ 3 2 1 - x 2 1 2 ⋅ ( - 2 x ) 1 - x 2 3 ⇒ f 3 0 = 1

Aqui entra a notação o-pequeno. Pra não usarmos toda a expansão (preste atenção na questão a importância do grau máximo que queremos) fazemos:

f x = x 1 ! + x 3 3 ! + …

= x + x 3 6 + o ( x 3 )

Onde o x 3 indica funções que divididas por x 3 tendem a 0 quando x → 0 .

Passo 2

Partindo para o limite com a expansão, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 x 3 arcsin ⁡ 2 x - 2 arcsin ⁡ x =

= lim x → 0 ⁡ 1 x 3 2 x + 2 x 3 6 + o 2 x 3 - 2 x + x 3 6 + o ( x 3 ) =

= lim x → 0 ⁡ 1 x 3 2 x + 8 x 3 6 - 2 x - 2 x 3 6 + o 8 x 3 - 2 o x 3 =

= lim x → 0 ⁡ 1 x 3 x 3 + o ( x 3 ) =

= lim x → 0 ⁡ 1 + 1 x 3 o ( x 3 ) =

= 1

Uma vez que, por definição:

lim x → 0 ⁡ 1 x 3 o ( x 3 ) = 0

De fato, se conhecemos a expansão de Taylor, apenas o passo 2 é necessário.

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 x 3 arcsin ⁡ 2 x - 2 arcsin ⁡ x = 1

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