UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 5, exercício 1.
Aproxime
Em torno de com um polinômio de Taylor de grau três e com um polinômio de grau quatro. A seguir, calcule os valores destas aproximações em e e compare com os valores corretos.
Passo 1
Bem, ele pede para aproximarmos essa função por um polinômio de grau três e por outro de grau quatro.
Vamos então achar as derivadas até ordem da função :
Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:
Passo 2
A expressão do polinômio de Taylor de grau é:
Agora temos que achar cada termo do polinômio, até a ordem 4:
Passo 3
Nossos polinômios de grau três e grau quatro vão ficar, respectivamente:
Passo 4
Tá pensando que acabou? Pois bem, não acabou.
Ainda temos que calcular o valor dessas aproximações em e e comparar com os valores corretos.
Vamos primeiro então calcular os valores exatos.
Passo 5
Agora vamos calcular os valores das aproximações.
Para
Para
Passo 6
Comparando todos os valores:
E
Vemos que o polinômio de Taylor de maior grau (grau 4) aproxima melhor a função, retornando um valor mais próximo ao valor exato.
Resposta
E