Aproxime

f x = e x

Em torno de a = 0 com um polinômio de Taylor de grau três e com um polinômio de grau quatro. A seguir, calcule os valores destas aproximações em x = 0 , 2 e x = 1 , 0 e compare com os valores corretos.

Passo 1

Bem, ele pede para aproximarmos essa função por um polinômio de grau três e por outro de grau quatro.

Vamos então achar as derivadas até ordem 4 da função f x :

f ' x = e x

f ' ' x = e x

f ' ' ' x = e x

f ' ' ' ' x = e x

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f 0 = e 0 = 1

f ' ' 0 = e 0 = 1

f ' ' ' 0 = e 0 = 1

f ' ' ' ' 0 = e 0 = 1

Passo 2

A expressão do polinômio de Taylor de grau n é:

P n x = f 0 + f ' 0 1 ! ⋅ x + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n

Agora temos que achar cada termo do polinômio, até a ordem 4:

f 0 = 0

f ' 0 x 1 1 ! = 1 . x = x

f ' ' 0 x 2 2 ! = 1 . x ² 2 = x 2 2

f ' ' ' 0 x 3 3 ! = 1 . x 3 3 ∙ 2 ∙ 1 = x 3 6

f ' ' ' ' 0 x 4 4 ! = 1 . x 4 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = x 4 2 4

Passo 3

Nossos polinômios de grau três e grau quatro vão ficar, respectivamente:

P 3 x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6

P 4 x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24

Passo 4

Tá pensando que acabou? Pois bem, não acabou.

Ainda temos que calcular o valor dessas aproximações em x = 2 e x = 10 e comparar com os valores corretos.

Vamos primeiro então calcular os valores exatos.

f 0 , 2 = e 0 , 2 = 1,2214022758

f 1 = e 1 = 2,718281828

Passo 5

Agora vamos calcular os valores das aproximações.

Para x = 0 , 2

P 3 0 , 2 = 1 + 0,2 + 0,2 2 2 + 0 , 2 3 6 = 1,221333333

P 4 0,2 = 1 + 0,2 + 0,2 2 2 + 0,2 3 6 + 0,2 4 24 = 1,2214

Para x = 1,0

P 3 1 = 1 + 1 + 1 2 2 + 1 3 6 = 2,6666666

P 4 1 = 1 + 1 + 1 2 2 + 1 3 6 + 1 4 24 = 2,70833333

Passo 6

Comparando todos os valores:

f 0,2 = 1,2214022758

P 3 0,2 = 1,221333333

P 4 0,2 = 1,2214

E

f 1 = 2,718281828

P 3 1 = 2,6666666

P 4 1 = 2,70833333

Vemos que o polinômio de Taylor de maior grau (grau 4) aproxima melhor a função, retornando um valor mais próximo ao valor exato.

Resposta

P 3 x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6

P 4 x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24

f 0,2 = 1,2214022758

P 3 0,2 = 1,221333333

P 4 0,2 = 1,2214

E

f 1 = 2,718281828

P 3 1 = 2,6666666

P 4 1 = 2,70833333

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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0