Calcule ou mostre que não existe. lim x → 0 arcsin x - sin x arctan x - x cos x lim x → 0 + 1 + x x + x 1 x Restrição: o uso da Regra de L’Hôpital só poderá ser utilizado em apenas um dos itens. Passo 1Faaaala, molecada! Vamos tentar uma abordagem usando as expansões de Taylor e a notação o-pequeno: arcsin x = x + x 3 6 + o x 3 cos x = 1 - x 2 2 + o ( x 2 ) arctan x = x - x 3 3 + o x 3 sin x = x - x 3 6 + o ( x 3 ) Dessa forma: lim x → 0 arcsin x - sin x arctan x - x cos x = = lim x → 0 x + x 3 6 + o x 3 - x - x 3 6 + o x 3 x - x 3 3 + o x 3 - x 1 - x 2 2 + o x 2 = = lim x → 0 2 ⋅ x 3 6 + o ( x 3 ) x - x 3 3 + o x 3 - x - x 3 2 + o x 3 = = lim x → 0 x 3 3 + o ( x 3 ) x 3 - 1 3 + 1 2 + o ( x 3 ) = = lim x → 0 x 3 3 + o ( x 3 ) x 3 6 + o ( x 3 ) ⋅ 1 x 3 1 x 3 = = lim x → 0 1 3 + o ( 1 ) 1 6 + o ( 1 ) = 1 3 1 6 = 2 No final, é análogo a utilizar L’Hôpital pois envolve derivadas também. Resposta lim x → 0 arcsin x - sin x arctan x - x cos x = 2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x) Ver TeoriaExercício 631234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100Carregar mais exercícios (100) Exercícios de Livros RelacionadosD e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r, d e o r d e m 2, d e f e m o l t a d e x 0 d a d o. ô sen(x) e x₀ = 0D(e)ter(m)i(n)ar o polinômio de Taylor, de ordem 2, de f em volta de x0. ô f(x) = cos(x) e x₀ = 0Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 038. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 sen x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0Ver TambémVer tudo sobre CálculoVer tudo sobre Polinômio de TaylorLista de exercícios de Polinômio de Taylor para f(x)