Calcule ou mostre que não existe.

  1. lim x → 0   ⁡ arcsin ⁡ x - sin ⁡ x arctan ⁡ x - x cos ⁡ x
  2. lim x → 0 + ⁡ 1 + x x + x 1 x

Restrição: o uso da Regra de L’Hôpital só poderá ser utilizado em apenas um dos itens.

Passo 1

Faaaala, molecada! Vamos tentar uma abordagem usando as expansões de Taylor e a notação o-pequeno:

arcsin ⁡ x = x + x 3 6 + o x 3                                         cos ⁡ x = 1 - x 2 2 + o ( x 2 )

arctan ⁡ x = x - x 3 3 + o x 3                                         sin ⁡ x = x - x 3 6 + o ( x 3 )

Dessa forma:

lim x → 0   ⁡ arcsin ⁡ x - sin ⁡ x arctan ⁡ x - x cos ⁡ x =

= lim x → 0   ⁡ x + x 3 6 + o x 3 - x - x 3 6 + o x 3 x - x 3 3 + o x 3 - x 1 - x 2 2 + o x 2 =

= lim x → 0   ⁡ 2 ⋅ x 3 6 + o ( x 3 ) x - x 3 3 + o x 3 - x - x 3 2 + o x 3 =

= lim x → 0   ⁡ x 3 3 + o ( x 3 ) x 3 - 1 3 + 1 2 + o ( x 3 ) =

= lim x → 0   ⁡ x 3 3 + o ( x 3 ) x 3 6 + o ( x 3 ) ⋅ 1 x 3 1 x 3 =

= lim x → 0   ⁡ 1 3 + o ( 1 ) 1 6 + o ( 1 ) = 1 3 1 6 = 2

No final, é análogo a utilizar L’Hôpital pois envolve derivadas também.

Resposta

lim x → 0   ⁡ arcsin ⁡ x - sin ⁡ x arctan ⁡ x - x cos ⁡ x = 2

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