Mostre que

b) 0 ≤ e^x - (1 + x + (x^2 / 2)) < (x^3 / 2), ∀ x ∈ [0, 1]

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a série de Taylor para exponenciais é maior ou igual a zero e menor do que x 3 2 no intervalo [ 0 ,   1 ] .

A série de Taylor para exponenciais é:

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … ,   - ∞ < x < ∞

Mas como 0 ≤ x ≤ 1 , temos e x ≥ 0 . Ou seja, o resultado da nossa exponencial vai ser sempre um número positivo. Então, vamos manipular a expressão acima até chegar na expressão do enunciado.

Vamos lá!

Passo 2

Partindo de:

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 !

Podemos isolar a parte x 3 3 ! :

e x - 1 - x 1 ! - x 2 2 ! = x 3 3 !

Como 0 ≤ x ≤ 1 , temos:

e x - 1 - x 1 ! - x 2 2 ! ≤ x 3 3 !

E como x 3 3 ! ≤ x 2 2 ! , o sinal de igual deve sumir, pois agora expressão será sempre menor que x 2 2 :

e x - 1 - x 1 ! - x 2 2 ! < x 3 3 !

E como e x ≥ 0 , temos:

0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 < x 3 2

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 < x 3 2

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