c. Mostre que | e^(x^2) - (1 + x^2 + x^4/2 + x^6/3! + ... + x^(2n)/n!) | ≤ e^(x^2) * x^2(n + 1) / (n + 1)! , ∀x ∈ R .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que provar a seguinte relação:

| e x 2   − (   1   +   x   2   + x 4 2   + x 6 3 !   +   ·   ·   ·   + x 2 n n ! ) |         ≤   e x 2 x 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) !  

Temos que o erro para a aproximação da expansão de Taylor P ( x ) em torno de um x 0 , possui a seguinte relação:

E n = | f ( x )   − P ( x ) |         ≤   | f ( n + 1 ) ( c ) ( x - x 0 ) ( n + 1 ) | ( n + 1 ) !  

Vamos utilizar essa relação para provar o que foi solicitado no enunciado. Vamos lá!

Passo 2

Temos que:

| e x 2   − (   1   +   x   2   + x 4 2   + x 6 3 !   +   ·   ·   ·   + x 2 n n ! ) |         ≤   | f ( n + 1 ) ( c ) ( x 2 - x 0 ) ( n + 1 ) | ( n + 1 ) !  

temos que P ( x ) é a expansão de Taylor de f ( x 2 ) = e x 2 , em torno de x 0 = x 2 = 0 , então

f ( n + 1 ) ( c ) ( x 2 - x 0 ) ( n + 1 ) = e x 2 x 2 ( n + 1 ) > 0 .

Assim, temos que

| e x 2   − (   1   +   x   2   + x 4 2   + x 6 3 !   +   ·   ·   ·   + x 2 n n ! ) |         ≤   e x 2 x 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) !   .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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