Mostre que:
Passo 1
Para mostrar a desigualdade para vamos usar uma propriedade importante da função seno e a expansão em série de Taylor.
A expansão em série de Taylor da função seno centrada em é dada por:
Agora, considerando a desigualdade que queremos demonstrar:
Passo 2
Note que então a desigualdade é verdadeira para
Vamos considerar
E, claro,
Assim, a desigualdade é verdadeira para todos os valores de pois ambos os lados são iguais a zero quando e, quando ambos os lados são positivos (pois a função seno é sempre limitada entre -1 e 1) e a parte direita é maior ou igual a zero.
Resposta
Vide o passo a passo.