Mostre que:

  1. | sen(x - x) ≤ (|x|^3) / 3! , ∀ x ∈ R

Passo 1

Para mostrar a desigualdade sin ⁡ x - x ≤ x 3 3 !   para x ∈ R vamos usar uma propriedade importante da função seno e a expansão em série de Taylor.

A expansão em série de Taylor da função seno centrada em x = 0 é dada por:

sin ⁡ x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + … .

Agora, considerando a desigualdade que queremos demonstrar:

s i n x   -   x ≤ x 3 3 !

Passo 2

Note que sin ⁡ 0 = 0 então a desigualdade é verdadeira para x = 0

Vamos considerar x ≠ 0

s i n x   -   x = s i n 0 = 0

E, claro, x 3 3 ! = x 3 6

Assim, a desigualdade sin ⁡ x - x ≤ x 3 3 ! é verdadeira para todos os valores de x ∈ R pois ambos os lados são iguais a zero quando x = 0 e, quando x ≠ 0 , ambos os lados são positivos (pois a função seno é sempre limitada entre -1 e 1) e a parte direita x 3 3 !   é maior ou igual a zero.

Resposta

Vide o passo a passo.

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