Use o polinômio de Tyalor de ordem dois de f x = x 3 2 no ponto a = 4 para obter uma aproximação de 4.2 3 2 .

Passo 1

A fórmula de Taylor de ordem 2 é

P 2 x 0 = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 ²

Nesse exercício o x 0 dado no enunciado é 4 e o x é 4,2 . Vamos calcular separadamente os termos f x 0 , f ' x 0 , f ' ' x 0 e x - x 0 para depois juntá-los na fórmula.

  • f x 0 : f 4 = 4 3 / 2 = 8
  • f ' x 0 : f ' x = 3 x 1 2 2 ⟶ f ' 4 = 3.4 1 2 2 = 3
  • f ' ' x 0 : f ' ' x = 3 2 . 1 2 x - 1 2 ⟶ f ' ' 4 = 3 8
  • x - x 0 : 4,2 - 4 = 0,2

Passo 2

Juntando tudo na fórmula temos a seguinte aproximação

P 2 4 = 8 + 3 0,2 + 3 8 2 0,2 ² = 8 + 0,6 + 0,0075 = 8,6075

Resposta

8,6075

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0