UFABC – Cálculo 1 – Lista 6 – 3e
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de
em torno de 0
Passo 1
O primeiro passo é encontrarmos o polinômio de Taylor de ordem 5 para Esse polinômio pode ser encontrado usando a função aí embaixo, em que , , , e são os valores da derivada primeira, segunda, terceira, quarta e quinta, respectivamente no ponto
Passo 2
Vamos então calcular a primeira e segunda derivada dessa função dada no enunciado, que seria .
Substituindo temos:
Podemos rearranjar esse rolê aí e escrever:
Note que o ponto foi dado, então aqui vamos precisar substituir
Passo 3
Para , temos:
Resolvendo, vamos ter ao final:
Lembrando que os valores fatoriais são descritos como:
Resposta
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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 sen x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0