USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.6b
(b) Avalie com erro, em módulo, inferior a .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar uma aproximação para de modo que o erro seja:
Isso porque é como se tivéssemos aplicado em . Como o polinômio de Taylor de ordem para é dado por , existe um Teorema que nos diz que o erro é dado por:
De forma que , para algum no intervalo , onde se chega a relação:
Isso tudo é pra dizer que se nós precisamos encontrar um erro inferior a , vamos precisar usar a relação:
Vamos lá!
Passo 2
Como precisamos que , ou:
Então, por tentativa, precisamos encontrar um que somado a , tenha o fatorial maior que . Fazendo , nós vamos ver que:
Portanto, essa é a nossa resposta.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 sen x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0