Determine o polinômio de Taylor de grau 3 da função f x = cos ⁡ x 2 no ponto x = π 2

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 3 da função f x :

f ' x = - sen ⁡ x 2 ⋅ 2 x = - 2 x sen ⁡ x 2

f ' ' x = - 2 sen ⁡ x 2 - 2 x cos ⁡ x 2 ⋅ 2 x = - 2 sen ⁡ x 2 - 4 x 2 cos ⁡ x 2

f ' ' ' x = - 2 cos ⁡ x 2 ⋅ 2 x - 4 ⋅ 2 x cos ⁡ x 2 - 4 x 2 - sen ⁡ x 2 ⋅ 2 x = - 4 x cos ⁡ x 2 - 8 x cos ⁡ x 2 + 8 x 3 sen ⁡ x 2

f ' ' ' x = - 12 x cos ⁡ x 2 + 8 x 3 sen ⁡ x 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f π 2 = cos ⁡ π 2 2 = cos ⁡ π 2 = 0

f ' π 2 = - 2 ⋅ π 2 ⋅ sen ⁡ π 2 2 ⏟ sen ⁡ π 2 = 1 = - 2 π 2 = - 2 π

f ' ' π 2 = - 2 sen ⁡ π 2 2 ⏟ sen ⁡ π 2 = 1 - 4 ⋅ π 2 2 ⋅ cos ⁡ π 2 2 ⏟ cos ⁡ π 2 = 0 = - 2

f ' ' ' π 2 = - 12 π 2 cos ⁡ π 2 2 ⏟ cos ⁡ π 2 = 0 + 8 ⋅ π 2 3 sen ⁡ π 2 2 ⏟ sen ⁡ π 2 = 1 = 2 3 π 2 3 = 2 π 3 2

Passo 2

Agora temos que achar cada termo da função:

f π 2 = 0

f ' π 2 x - π 2 1 1 ! = - 2 π x - π 2

f ' ' π 2 x - π 2 2 2 ! = - 2 2 ! x - π 2 2 = - x - π 2 2

f ' ' ' π 2 x - π 2 3 3 ! = 2 π 3 2 6 x - π 2 3

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 3 π 2 = 0 - 2 π x - π 2 - x - π 2 2 + 2 π 3 2 6 x - π 2 3

Resposta

P 3 π 2 = - 2 π x - π 2 - x - π 2 2 + 2 π 3 2 6 x - π 2 3

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0