Determine o polinômio de Taylor de grau 3 da função f x = cos x 2 no ponto x = π 2 Passo 1 A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 3 da função f x : f ' x = - sen x 2 ⋅ 2 x = - 2 x sen x 2 f ' ' x = - 2 sen x 2 - 2 x cos x 2 ⋅ 2 x = - 2 sen x 2 - 4 x 2 cos x 2 f ' ' ' x = - 2 cos x 2 ⋅ 2 x - 4 ⋅ 2 x cos x 2 - 4 x 2 - sen x 2 ⋅ 2 x = - 4 x cos x 2 - 8 x cos x 2 + 8 x 3 sen x 2 f ' ' ' x = - 12 x cos x 2 + 8 x 3 sen x 2 Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função: f π 2 = cos π 2 2 = cos π 2 = 0 f ' π 2 = - 2 ⋅ π 2 ⋅ sen π 2 2 ⏟ sen π 2 = 1 = - 2 π 2 = - 2 π f ' ' π 2 = - 2 sen π 2 2 ⏟ sen π 2 = 1 - 4 ⋅ π 2 2 ⋅ cos π 2 2 ⏟ cos π 2 = 0 = - 2 f ' ' ' π 2 = - 12 π 2 cos π 2 2 ⏟ cos π 2 = 0 + 8 ⋅ π 2 3 sen π 2 2 ⏟ sen π 2 = 1 = 2 3 π 2 3 = 2 π 3 2 Passo 2 Agora temos que achar cada termo da função: f π 2 = 0 f ' π 2 x - π 2 1 1 ! = - 2 π x - π 2 f ' ' π 2 x - π 2 2 2 ! = - 2 2 ! x - π 2 2 = - x - π 2 2 f ' ' ' π 2 x - π 2 3 3 ! = 2 π 3 2 6 x - π 2 3 Passo 3 O polinômio vai ficar: P 3 π 2 = 0 - 2 π x - π 2 - x - π 2 2 + 2 π 3 2 6 x - π 2 3 Resposta P 3 π 2 = - 2 π x - π 2 - x - π 2 2 + 2 π 3 2 6 x - π 2 3 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x) Ver TeoriaExercício 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100Carregar mais exercícios (100) Exercícios de Livros RelacionadosD e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r, d e o r d e m 2, d e f e m o l t a d e x 0 d a d o. ô sen(x) e x₀ = 0D(e)ter(m)i(n)ar o polinômio de Taylor, de ordem 2, de f em volta de x0. ô f(x) = cos(x) e x₀ = 0Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 038. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 sen x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0Ver TambémVer tudo sobre CálculoVer tudo sobre Polinômio de TaylorLista de exercícios de Polinômio de Taylor para f(x)