Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de f em torno de x_0

raiz(x) em torno de 1

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos o polinômio de Taylor de ordem 5 . Esse polinômio pode ser encontrado usando a função aí embaixo, em que f ' x 0 , f ' ' x 0 , f ' ' ' x 0 , f ' ' ' ' x 0 e f ' ' ' ' ' x 0 são os valores da derivada primeira, segunda, terceira, quarta e quinta, respectivamente no ponto x 0

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 x - x 0 2 2 ! + f ' ' ' x 0 x - x 0 3 3 ! + f ' ' ' ' x 0 x - x 0 4 4 ! + f ' ' ' ' ' x 0 x - x 0 5 5 !

Passo 2

Vamos então calcular a primeira e segunda derivada dessa função dada no enunciado, que seria x . Se liga que aqui você pode usar da malandragem. Ao invés de usar regra do quociente (que é mais chatinha), pega sempre o x e coloca ele no numerador, tipo assim:

f ' x 0 = 1 2 x 0

f ' x 0 = 1 2 x 0 - 1 2

E aí a derivação fica muito mais simples, certo?

f ' ' x 0 = - 1 4 x 0 3 2

f ' ' ' x 0 = 3 8 x 0 5 2

f ' ' ' ' x 0 = - 15 16 x 0 7 2

f ' ' ' ' ' x 0 = 105 32 x 0 9 2

Substituindo temos:

P x = x + 1 2 x 0 - 1 2   x - x 0 - 1 4 x 0 3 2 x - x 0 2 2 ! + 3 8 x 0 5 2 x - x 0 3 3 ! - 15 16 x 0 7 2 x - x 0 4 4 ! + 105 32 x 0 9 2 x - x 0 5 5 !  

Note que o ponto x 0 foi dado, então aqui vamos precisar substituir x 0 = 1

Passo 3

Para x 0 = 1 , temos:

P x = 1 + 1 2   x - 1 - 1 4 x - 1 2 2 + 3 8 x - 1 3 6 - 15 16 x - 1 4 24 + 105 32 x - 1 5 120

Simplificando, temos:

P x = 1 + 1 2   x - 1 - x - 1 2 8 + x - 1 3 16 - 3 x - 1 4 128 + 7 x - 1 5 256

Lembrando que os valores fatoriais são descritos como:

2 ! = 2 × 1

3 ! = 3 × 2 × 1

4 ! = 4 × 3 × 2 × 1

5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

Resposta

P x = 1 + 1 2   x - 1 - x - 1 2 8 + x - 1 3 16 - 3 x - 1 4 128 + 7 x - 1 5 256

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