Resolva as seguintes equações diferenciais, integrando sucessivamente:

b) (d^2y)/(d^2x) = 1 / (1 + x^2)

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa equação diferencial aqui

d 2 y d x 2 = 1 1 + x 2

Mas como resolver ela?

Integrando! Se integrarmos uma vez, vamos baixar em uma unidade a ordem da derivada! Vamos proceder até termos a função!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar integrando uma vez

d 2 y d x 2 = 1 1 + x 2

∫ d 2 y d x 2 d x = ∫ 1 1 + x 2 d x

d y d x = arctan ⁡ x + C 1

Beleza?

Passo 3

Agora vamos integrar mais uma vez

d y d x = arctan ⁡ x + C 1

∫ d y d x d x = ∫ arctan ⁡ x + C 1 d x

Aplicando por partes na integral do arco tangente

u = arctan ⁡ x

d u = 1 x 2 + 1

d v = d x ,   v = x

Aí por partes é

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Nossa solução fica

y x = x arctan ⁡ x - ∫ x x 2 + 1 d x + C 1 x

E integrando do lado direito por substituição simples u = x 2 + 1 , d u 2 = x   d x temos

y x = x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C 1 x + C 2

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

y x = x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C 1 x + C 2

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