Considere a equação diferencial .
- Encontre a solução geral da equação diferencial.
- Determine .
- Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais , .
Passo 1
Vamos letra por letra, começando pela (a). Para resolver a EDO, encontramos a equação característica correspondente:
Por Bhaskara, vamos ter:
Então aqui temos raízes com parte real e parte imaginária. De forma geral, para uma raiz na forma:
Vamos ter solução com exponencial, senos e cossenos:
Então, comparando com o que encontramos no problema, vamos ter:
E essa vai ser nossa solução geral!
Passo 2
Vamos para a letra (b) agora. Como temos
Tiramos esse limite diretamente. Aplicando na expressão, vamos ter:
Temos aqui uma exponencial que vai tender para zero multiplicando funções trigonométricas que ficam oscilando entre e . É de se esperar que esse limite dê zero, mas vamos mostrar isso matematicamente.
Vamos olhar para o limite com o cosseno:
Para resolver, usamos o fato da função cosseno ser limitada:
E manipulamos a desigualdade para chegar na expressão do limite:
Aplicando o limite:
Como a exponencial tem expoente negativo, vai tender para zero, ficando:
Assim, pelo teorema do confronto (ou sanduiche para os íntimos), temos que:
Da mesma forma, encontramos:
Assim, como era de se esperar:
Passo 3
Agora o problema nos deu as condições iniciais
E com elas podemos encontrar as constantes e da solução geral. Aplicando a primeira condição, vamos ter:
Assim, temos agora
Para aplicar a segunda condição, derivamos usando a regra do produto:
E então, vamos ter:
Assim, a nossa solução final para o PVI será a solução geral substituindo esses valores que encontramos:
Resposta
(a)
(b)
(c)