Edo de 2ª Ordem não homogênea
Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
- Determine , e tais que as funções e sejam as soluções da equação
- Encontre a solução geral da equação
Passo 1
Ele deu as soluções da EDO, o normal seria substituirmos essas soluções na EDO, mas como as funções são muito brabas vai dar muito trabalho, vamos colocar a cachola para funcionar um pouco.
A solução geral seria
Lembra qual EDO tem esse tipo de solução? É aquela que o dá negativo, as soluções da equação auxiliar vão ser complexas, e terão a seguinte forma
Onde vai ser o coeficiente dentro do cosseno e do seno, e vai ser o coeficiente de no expoente de , então as soluções são
A equação característica vai ser
Fazendo a distributiva
Lembrando que vamos ter
Pela Edo essa equação vai ser
Então
E a EDO vai ficar
Passo 2
Ele quer a solução da EDO não homogênea
A solução dessa parada vai ser
Precisamos achar a solução particular e a solução da EDO homogênea equivalente.
Primeiro temos que achar a solução da homogênea, mas dessa vez ele já deu. A solução da homogênea
Passo 3
Vamos agora para a particular, ele nos deu um polinômio ali, então vamos usar os coeficientes a determinar,
Substituindo na EDO
Devemos ter
E
A solução particular vai ser
Passo 4
A solução geral vai ficar