UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, AV2 - 2022.2, Questão 2b
Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO homogênea de quarta ordem e quatro funções, e pediu pra gente verificar se essas funções são solução da EDO. Mas como a gente faz isso?
Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes (LI) e elas tem que satisfazer a equação, que no caso é:
Então, o que a gente precisa fazer é derivar , , e , substituir na equação e ver se dar zero.
Depois, para verificar se as soluções são LI, nós calculamos o Wronskiano fazendo:
Se ele for diferente de zero, as soluções são LI.
Por fim, basta montar a solução geral na forma:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas de :
Substituindo na EDO:
Então, é solução!
Passo 3
Agora vamos ver se é solução. Derivando:
Substituindo na EDO:
Então, também é solução!
Passo 4
Conferindo se é solução, temos:
Substituindo na EDO:
Então, também é solução!
Passo 5
Conferindo se é solução, temos:
Substituindo na EDO:
Então, também é solução!
Passo 6
Agora só falta ver se as funções são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:
Pra calcular esse determinante, nós podemos fazer com que a matriz tenha uma forma escalonada. Já que o determinante da matriz transformada é igual ao determinante da matriz original.
Assim, multiplicando a terceira linha por e somando com a quarta linha, temos:
Multiplicando os elementos da diagonal principal, temos o determinante (pelo método da eliminação de Gauss):
Como , o conjunto é LI e, portanto, um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.
Dessa forma, nossa solução geral é dada por:
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉