UnB – Cálculo 2 – Lista de Fixação – Questão 1e
Determine a solução geral das equações diferenciais homogênea
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O problema nos dá essa equação diferencial ordinária homogênea com coeficientes constantes
Para resolvê-la vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim
Com as raízes é só montar nossa solução!
Beleza?
Beleza? Se encontrarmos raízes reais é só substituir na solução. Caso encontremos alguma raiz complexa, aí temos que fazer uma pequena modificação. Mas vamos ver isso mais para frente!
Ah, mais uma coisa! Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução em termos das constantes mesmo!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Precisamos resolver essa equação aqui
As possíveis raízes são os divisores inteiros do termo independente:
Substituindo esses valores na equação o primeiro valor que encontramos zero é o . Para saber as outras raízes vamos dividir nossa equação por .
Fazendo a divisão encontramos a seguinte forma fatorada
Para encontrar as outras raízes podemos repetir o pensamento dos divisores do termo independente. Substituindo por encontramos novamente como raiz (isso indica multiplicidade dois nesse valor). A forma fatorada fica
Por fim para encontrar as outras raízes vamos aplicar báskara:
No nosso caso temos duas raízes complexa, aí podemos transformar uma exponencial complexo em termos de senos e cossenos assim
Sendo
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Agora que sabemos as raízes podemos montar nossa solução
Temos que , . Para remover a multiplicidade das duas primeiras exponenciais, vamos multiplicar por uma delas
Beleza?
E é isso! Espero ter ajudado!