Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

Ver Teoria
Exercício 781234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Estatística, P1 - 2015.1, Questão 1a

Resolva as EDO de segunda ordem a seguir

y ' '   - y ' = - 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema?

Vamos fazer uma revisão!!!!

Vamos supor que temos uma EDO de segunda ordem homogênea. Isso é, da seguinte forma:

a y ' ' + b y ' + c y + d = 0

A primeira coisa que fazemos é encontrar o polinômio característico e, depois, suas raízes.

O polinômio é super simples de construir, basta pegarmos os coeficientes da EDO homogênea e ir plugando as potências do polinômio. Na prática fica assim.

a x 2 + b x   + c = 0

Ou seja, as potências dos polinômios ficam com os coeficientes das derivadas de mesma ordem. Isto é, potência 2 com segunda derivada, e assim por diante.

Agora achamos as raízes. Mas como o polinômio característico é do segundo grau. Usamos Bhaskara. Sendo assim suponha que x 1 e x 2 são as raízes do polinômio característico.

Se x 1 ≠ x 2 , Então a solução geral da EDO homogênea é:

A e x 1 t + B e x 2 t

com A , B ∈ R

Se x 1 = x 2 , Então a solução geral da EDO homogênea é:

A e x 1 t + B x e x 1 t

com A , B ∈ R

Se x 1 , x 2 ∉   R , Então a solução geral da EDO homogênea é:

x 1   = v + i w

e v x ( A c o s ( w x ) + B s i n ( w x ) )

com A , B ∈ R

Deu para revisar? Show!!!!

MAS PERA AE!!!!! NÓS QUEREMOS A SOLUÇÃO DE

y ' '   - y ' = - 3

E essa não é uma EDO homogênea. Então o que fazemos??? Ora é bem simples. Primeiro calculamos a solução da EDO homogênea e depois somamos com uma solução particular da nossa EDO. E adivinha como encontramos a solução particular, muitas vezes é na base do chute mesmo. kkkkkk

Então vamos nessa!!!!

Passo 2

Vamos resolver nossa EDO

y ' '   - y ' = - 3

Vamos calcular o polinômio característico da EDO homogênea associada.

y ' '   - y ' = 0

Pela nossa revisão ele é

1 r 2 - 1 r

Vamos obter suas raízes

1 r 2 - 1 r = 0

Por Bhaskara, as raízes são

1   e   0

Ou seja, temos duas raízes reais. Então a nossa solução é da forma

A e x 1 t + B e x 2 t

com A , B ∈ R

Como nosso x 1 = 1   e   x 2 = 0 , então A solução do sistema homogêneo é:

A e t + B

Agora, precisamos de uma solução particular para

y ' '   - y ' = - 3

Vamos pensar na mais simples possível, um polinômio. Vamos supor que é o polinômio

3 t

E vamos ver se satisfaz a EDO

( 3 t ) ' '   - ( 3 t ) ' =   0 - 3

= - 3

Opaaaa, satisfaz. Então a solução geral é da forma

A e t + B + 3 t

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

A e t + B + 3 x

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2