Determine os valores de m para que a função y = x m seja uma solução para a equação diferencial x 2 y ' ' - y = 0 .

O maior valor numérico de m obtido é:

Passo 1

Pra resolver essa questão a gente precisa derivar a solução dada e substituir na equação. E assim vamos ficar com uma expressão em m e daí encontrar seu valor. Beleza?

A candidata a solução é:

y = x m

E as derivadas:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Passo 2

Agora é só substituir na eq. Dif:

x 2 y ' ' - y = 0

x 2 . m m - 1 x m - 2 - x m = 0

x m m m - 1 - 1 = 0

Como x m ≠ 0 para qualquer m , então temos que a expressão dentro dos colchetes precisa ser zero: m 2 - m - 1 = 0

Passo 3

Encontramos uma equação de segundo grau e a solução é por bháskara:

m = - ( - 1 ) ± ( - 1 ) 2 - 4 . 1 . ( - 1 ) 2 . 1 = 1 ± 5 2

Daí como o problema pede o maior valor de m , a gente usa o sinal + :

m = 1 + 5 2 = 1 + 2,23 2 = 1,61

Resposta

m = 1,61

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