Questão 3: A função y(x) = e^x * cos(x) , ∀x ∈ R , é a solução de qual das equações abaixo?

  1. y'' - 2y' + 2y = 0
  2. y'' + y = 0
  3. y'' + y = e^x * cos(x)
  4. y'' - 2y' + 2y = x
  5. y'' - y = e^x

Passo 1

Nem, infelizmente para verificar isso a gente tem que derivar duas vezes a função que queremos prover ser solução e depois ir substituindo em cada item pra ver se chegamos em 0 = 0 . Se isso acontecer, então encontramos a resposta, saca?

y x = e x cos ⁡ x     →

y ' x = e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x   →

y ' ' x = e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x - e x sin ⁡ x + e x cos ⁡ x   →       y ' ' x = - 2 e x sin ⁡ x

Agora vamos substituir!

Passo 2

Vamos primeiro substituir na letra A :

y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0     →

- 2 e x sin ⁡ x - 2 e x cos ⁡ x - e x sin ⁡ x + 2 e x cos ⁡ x = 0   →

- 2 e x sin ⁡ x - 2 e x cos ⁡ x + 2 e x sin ⁡ x + 2 e x cos ⁡ x = 0   →

0 = 0

OPA! Encontramos de primeira ! Logo, y x = e x cos ⁡ x é solução da EDO da letra A.

Resposta

a )   y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0    

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