UnB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fixação de C2 - MAT - Lista da Semana 10, Questão 5
Se a equação diferencial de ordem não tem o termo , pode-se fazer a mudança de variável e transformá-la em uma equação de ordem na variável .
Resolva:
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente resolver a EDO de segunda ordem . E ele já nos deu a dica de utilizarmos a substituição para transformá-la em uma EDO de primeira ordem.
Fazendo isso, nós temos . Assim, substituímos na nossa EDO e reduzimos sua ordem para calcular a solução geral pelos métodos de resolução de EDO de ordem.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar substituindo e na equação:
Dividindo todo mundo por , temos:
Passo 3
Repare que agora nós temos uma EDO de primeira ordem linear, que é da forma:
Onde e . Nesse tipo de EDO, a solução é sempre dada por:
De forma que é uma constante de integração e é calculado pela expressão:
Assim, substituindo os parâmetros da nossa equação, temos:
E substituindo na fórmula da solução geral:
Integrando, temos:
Passo 4
Lembra que definimos no passo ? Então, agora vamos voltar pra nossa variável original, fazendo:
Mas . Assim, temos:
Integrando de ambos os lados:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉