UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, AV2 - 2022.2, Questão 1
Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular . Encontre a solução geral em da equação diferencial
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO de segunda ordem e pediu pra gente encontrar duas soluções seriais linearmente independentes usando o método de Frobenius.
Haha calma, que a gente desenrola. Esse cara, o Frobenius, criou um método pra encontrar uma solução para uma EDO ordinária de segunda ordem com ponto singular regular, usando séries de potências.
Lembra o que é um ponto singular? É quando em uma EDO do tipo:
Quando isso acontece, dizemos que o ponto é singular. Então, a primeira coisa a fazer é identificar o ponto singular regular, e para isso primeiro vemos quais são os pontos singulares, repare que no nosso caso:
Comparando com a equação ali em cima:
E só para , esse é o único ponto singular. Vamos testar agora se ele é regular fazendo os limites:
Como os limites existem e são finitos, ele é um ponto singular regular.
Podemos assim encontrar as soluções da EDO definindo em termos seriais, com suas derivadas. Em seguida, igualar as potências de e os índices dos somatórios, pra então resolver uma equação indicial (que é aquela que sobra do lado de fora dos somatórios), colocar o em evidência, encontrar a relação de recorrência e substituir na série de potências essa expressão para o . Uffa! Respira e vamos lá!
Passo 2
Vamos definir:
Derivando, temos:
Derivando mais uma vez:
E substituímos na EDO:
Passo 3
Vamos deixá-los com a mesma potência de , nesse caso, .
Vamos ter então:
Passo 4
Vamos andar todo mundo uma unidade para que todos comecem no mesmo ponto :
Vamos agora resolver a equação indicial:
Como , temos:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios, colocando o em evidência
Lembre-se que o nosso objetivo é encontrar uma expressão para o e assim definir . Veja que temos um somatório de termos positivos que é igual a zero, logo, o termo geral deve ser zero.
Como obrigatoriamente, sabemos que o que está dentro dos parênteses deve ser igual a zero. Veja:
Essa é a chamada relação de recorrência dos coeficientes. Agora com base nessa equação vamos calcular fazendo:
Isolando , temos:
Passo 6
Agora vamos encontrar duas soluções, uma para cada valor de que encontramos no passo . Vamos achar a solução para o primeiro valor de ,
Repara que vamos ter
Podemos dar uma leve arrumada, repara que se multiplicarmos em baixo por vamos completar o fatorial de , além disso
Multiplicando em cima e embaixo:
Passo 7
Agora basta substituir essa expressão que encontramos para os coeficientes na série, lembrando que , logo:
Vamos ter
Podemos tirar porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.
Passo 8
Vamos achar a solução para o segundo valor de ,
Repara que vamos ter
Podemos dar uma leve arrumada, repara que se multiplicarmos em baixo por vamos completar o fatorial de , além disso
Multiplicando em cima e embaixo
Passo 9
Vamos ter (lembrando que ):
Podemos tirar porque queremos a solução para depois multiplicar por uma constante.
Passo 10
Dessa forma, podemos escrever solução da EDO: