UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2017.2, Questão 2
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI):
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Temos que encontrar a solução da seguinte equação diferencial de segunda ordem
essa é uma equação diferencial ordin��ria de segunda ordem não-homogênea, portanto, iremos começar encontrando a solução da parte homogênea, e então, tendo isso como base, propor uma solução particular para cada parte do termo inomogêneo. Como este é um PVI, também teremos ao final de tudo avaliar as condições iniciais
Mas isso será apenas após completar a questão como um todo! Bora lá!
Passo 2
Para achar a solução da parte homogênea, precisamos escrever o polinômio característico desta equação, ele é tal que
aplicando Bhaskara podemos encontrar as duas raízes como
duas raízes reais iguais! Você lembra qual o formato da solução quando temos duas raízes reais repetidas? Saca só!
Passo 3
Para um polinômio característicos com raízes reais repetidas, temos que a solução é da forma
em que é a nossa raiz, temos então que
este é o formato geral da solução da parte homogênea! Vamos analisar agora as soluções particulares!
Passo 4
Temos que a parte inomogênea é formada pela função , ou seja, uam função exponencial! Usando o método de coeficientes a determinar, devemos supor uma solução particular para função acima. Como temos uma função exponencial devemos propor uma solução que é uma função exponencial análoga, ou seja
precisamos derivar esta função duas vezes para substituirmos na equação diferencial, lembrando que
podemos escrever a primeira derivada como
e, da mesma forma, a segunda derivada é
Vamos substituir ambas as derivadas em nossa equação diferencial! Vem comigo!
Passo 5
Usando a equação diferencial, temos que
precisamos igualar os coeficientes em ambos os lados da equação acima, e assim encontrar o valor da constante , juntando todos os termos do lado esquerdo, temos que
para que a igualdade seja possível temos que , e portanto . Nossa solução é então dada por
Vamos escrever então a solução geral!
Passo 6
A solução geral será dada por
ou seja, temos que
Para encontrar as constantes e será necessário avaliar as condições iniciais
precisamos então derivar uma vez a nossa solução para avaliar a condição inicial sobre a primeira derivada! Vamo que vamo!
Passo 7
A primeira condição inicial é simplesmente , portanto, temos que
daqui temos diretamente que , ou seja
para avaliar a segunda condição inicial precisamos calcular a derivada da solução! Usando a regra do produto para o segundo termo da solução, temos que a primeira derivada é
em que usei a regra do tombo, e a derivada da exponencial que apresentei nos passos anteriores! Aplicando a condição inicial, temos que
Como calculamos anteriormente que , temos que
ou, somando os termos, temos que
E a solução do PVI é dada por
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!