Questão 4: Encontre todos os valores de , e todas as soluções associadas, para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno (para ):
Passo 1
Vamos começar então resolvendo essa EDO de segunda ordem...
Por equação característica:
Agora vamos analisar cada caso dependendo do valor de que no caso é desconhecido (até o momento ;).
Passo 2
1º - Caso :
Caso isso aconteça,
São valores reais e diferentes entre si e, portanto, a solução será:
Aplicando a primeira condição de contorno de que...
Para a segunda , como estamos falando de derivada, precisamos derivar rapidinho a solução:
Substituindo agora...
Pow, como esse termo dos parênteses não é ...
Logo
Essa é uma solução trivial e que não queremos! Então analisemos o outro caso...
Passo 3
2º - Caso :
Nesse caso, a solução da equação característica será:
Nesse caso, o modelo de resposta para a EDO é assim:
Substituindo a primeira condição...
Derivando e substituindo a segunda...
Novamente ganhamos a solução trivial:
Mas não desista pois ainda temos mais um caso para analisar!
Passo 4
3º - Caso :
Nesse caso, teremos uma solução imaginária para a Equação característica...
E, portanto, o modelo de solução da EDO é assim:
Substituindo a primeira condição...
Derivando e substituindo a segunda...
Como não queremos a solução trivial novamente, precisamos que...
Logo...
Ora, quando esse cosseno zera? Quando...
Ou seja...
Logo, os autovalores são...
Para as autofunções, basta substituir aqui os valores de e de :
Para as autofunções, a gente pode desconsiderar o , então...