Uma equação que tem a forma

t 2 y ' ' + α t y ' + β y = 0 ,     t > 0

Onde α e β são constantes reais, é denominada equação de Euler. Verifique que a substituição x = ln ⁡ t (defina v x = y t x = y ( e t ) ) transforma a equação dada na equação com coeficientes constantes

v ' ' + α - 1 v ' + β v = 0 .

Desde que a equação em v ( x ) é de 2 ª ordem linear com coeficientes constantes, podemos resolvê-la e determinar v ( x ) , consequentemente obtemos y t = v ( ln ⁡ t ) .

Para cada um dos casos (duas raízes reais e distintas, uma raiz real dupla e duas raízes complexas conjugadas) escreva a solução geral y ( t ) .

Resolva as seguintes equações de Euler:

c) t 2 y ' ' + 3 t y ' + y = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver a equação de Euler t 2 y ' ' + 3 t y ' + y = 0 . O próprio enunciado já nos diz que ela tem a forma geral t 2 y ' ' + α t y ' + β y = 0 ,     t > 0 . Daí, na resolução desse tipo de equação, nós vamos sempre acabar nos deparando com um polinômio característico:

r 2 + α - 1 r + β = 0

Depois disso, a gente precisa descobrir os valores de r e finalmente encontrar a solução. Observe que a gente tem uma equação do segundo grau aí, então três tipos de solução estarão disponíveis:

- Se tivermos duas raízes reais e distintas ( r 1 ≠ r 2 ), nossa solução terá a forma:

y t = c 1 t r 1 + c 2 t r 2

- Se tivermos duas raízes reais e iguais ( r 1 = r 2 = r ), nossa solução é do tipo:

y t = c 1 t r + c 2 t r ln ⁡ t

- E se temos raízes complexas ( r = λ ± μ i ), nossa solução terá a forma:

y t = t λ ( c 1 cos ⁡ μ ln ⁡ t + c 2 sin ⁡ ( μ ln ⁡ t ) )

Então, vamos verificar em qual dos casos cai nossa EDO e encontrar nossa solu��ão.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa EDO é dada por:

t 2 y ' ' + 3 t y ' + y = 0

Como α = 3 e β = 1 , nossa equação característica será dada por:

r 2 + α - 1 r + β = 0

r 2 + 3 - 1 r + 1 = 0

Simplificando:

r 2 + 2 r + 1 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, usando Bháskara, temos:

r = - 2 ± 4 - 4 2 = - 2 ± 0 2

r 1 = r 2 = - 1

Então, temos duas raízes reais e iguais. Dessa forma, nossa solução será do tipo:

y t = c 1 t r + c 2 t r ln ⁡ t

Substituindo r = - 1 , temos:

y t = c 1 t - 1 + c 2 t - 1 ln ⁡ t

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y t = c 1 t - 1 + c 2 t - 1 ln ⁡ t

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