UFJF, Sem Campus, Equações Diferenciais I, AV3 - 2022.1 - Prof° Luiz Fernando, Questão 2.
Questão 2 - Determine os coeficientes , , da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea, , cuja solução geral é dada por , , .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, nosso objetivo é obter os valores dos coeficientes , e da EDO dado que a solução geral dessa EDO é .
Ou seja, temos que fazer o caminho inverso... a partir da solução, obter a EDO!
Tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔
Em uma EDO homogênea de coeficientes constantes, a solução geral varia um pouco de acordo com o da equação característica.
Se , a solução será do tipo .
Se , a solução será , em que e são obtidos em .
E se , a solução será .
Então a primeira coisa que temos que fazer é obter a equação característica da EDO.
Entendeu? Bora lá!
Passo 2
Para obter a equação característica, vamos considerar que a solução da EDO é dada por , assim calculamos a primeira e a segunda derivada de para substituir na equação.
Pela regra da cadeia, temos
Substituindo , e em , temos
Colocando em evidência, temos
Para a igualdade ser satisfeita, obrigatoriamente deve ser , já que nunca é .
E, portanto, se a solução é dada por
Logo, podemos afirmar que e .
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Substituindo e na equação característica, temos
Resolvendo esse sistema pelo método matricial, temos que
A primeira coluna está relacionada à variável , a segunda relacionada à variável e a terceira relacionada à . Logo temos que
Assim, podemos ver que .
Substituindo e por na EDO, temos
Colocamos em evidência
Como é uma equação, podemos dividir os dois lados por , resultando em
Vamos simplificar, multiplicando os dois lados por ...
Dessa forma, descobrimos que e .
Legal, né! 😉
Passo 4
Vamos verificar esses valores. Substituindo na equação característica, temos que obter as raízes e , bora ver
Por Bhaskara, temos
Portanto, as raízes são
Justamente as raízes que estávamos procurando! Então os valores de , e estão corretos!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
