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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFRJ - Lista de EDO Segunda Ordem, Questão 1g

Resolva as EDO´s homogêneas

y ' '   - 2 y ' + 2 y   =   0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando com EDO homogênea de segunda ordem. Queremos resolver uma EDO da forma

a y ' '   +   b y '   + c y   =   0

Lembram como fazemos isso?

Primeiro, precisamos das raízes do polinômio característico da equação. Esse polinômio é dado por

a r 2 + b r + c

Agora vamos supor que as raízes do polinômio são r 1 e r 2 .

Então, a solução da equação homogênea é:

y ( t )   =   A e r 1 t + B e r 2 t

se r 1 ≠ r 2

y ( t )   =   A e r 1 t + B t e r 1 t

se r 1 = r 2

se r 1 = a + i b

r 2 = a - i b

então

y ( t )   =   e a t ( A c o s ( b t ) + B s i n ( b t ) )

Caso esteja curioso, Esses resultados surgem ao supormos que y ( t ) é da forma e r t

Vamos resolver nossa questão:

Passo 2

Construindo o polinômio característico da EDO

y ' '   - 2 y ' + 2 y   =   0

temos:

r 2 - 2 r + 2 = 0

Logo, Usando bhaskara

r 1 = 1 - i

r 2 = 1 + i

Pelo passo 1. A solução é da forma:

y ( t )   =     e a t ( A c o s ( b t ) + B s i n ( b t ) )

=   e t ( A c o s ( t ) + B s i n ( t ) )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e t ( A c o s ( t ) + B s i n ( t ) )

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2