UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, AV2 - 2022.2, Questão 2a
Verifique se as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral.
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma EDO homogênea de segunda ordem e duas funções, e pediu pra gente verificar se essas funções são solução da EDO. Mas como a gente faz isso?
Bom, pra um conjunto de funções ser um conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea, elas precisam ser linearmente independentes (LI) e elas tem que satisfazer a equação:
Então, o que a gente precisa fazer é derivar e duas vezes, substituir na equação e ver se dar zero. Depois, para verificar se as soluções são LI, nós calculamos o Wronskiano fazendo:
Por fim, basta montar a solução geral na forma:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada de :
Derivando novamente:
Substituindo na EDO:
Calculando:
Então, é solução!
Passo 3
Agora vamos ver se é solução. Derivando:
Derivando novamente:
Substituindo na EDO:
Resolvendo:
Então, também é solução!
Passo 4
Agora só falta ver se as funções são linearmente independentes. Calculando o Wronskiano:
Logo, o conjunto é LI e, portanto, um conjunto fundamental de soluções da nossa EDO.
A nossa solução geral é dada por:
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉