Uma equação que tem a forma

Onde e são constantes reais, é denominada equação de Euler. Verifique que a substituição (defina ) transforma a equação dada na equação com coeficientes constantes

Desde que a equação em é de ordem linear com coeficientes constantes, podemos resolvê-la e determinar , consequentemente obtemos .

Para cada um dos casos (duas raízes reais e distintas, uma raiz real dupla e duas raízes complexas conjugadas) escreva a solução geral .

Resolva as seguintes equações de Euler:

b)

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver a equação de Euler O próprio enunciado já nos diz que ela tem a forma geral . Daí, na resolução desse tipo de equação, nós vamos sempre acabar nos deparando com um polinômio característico:

Depois disso, a gente precisa descobrir os valores de e finalmente encontrar a solução. Observe que a gente tem uma equação do segundo grau aí, então três tipos de solução estarão disponíveis:

- Se tivermos duas raízes reais e distintas (), nossa solução terá a forma:

- Se tivermos duas raízes reais e iguais (), nossa solução é do tipo:

- E se temos raízes complexas (), nossa solução terá a forma:

Então, vamos verificar em qual dos casos cai nossa EDO e encontrar nossa solução.

Vamos lá!