UnB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fixação de C2 - MAT - Lista da Semana 10, Questão 7a
Utilizando o método de redução de ordem, determine uma segunda solução de cada uma das seguintes equações:
(a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente resolver a EDO de segunda ordem usando o método de redução de ordem. Pra isso, ele já nos dá uma solução e nós temos que encontrar a segunda .
Então, vamos supor que nossa solução é da forma:
Em seguida, vamos derivar essa equação duas vezes e substituir na EDO. Assim, vamos encontrar o valor de e consequentemente a nossa solução .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo nossa solução:
Como , temos:
Derivando essa equação, vamos obter:
Agora vamos derivar mais uma vez:
Passo 3
Beleza, temos , e , então vamos substituir na EDO:
Simplificando os termos semelhantes, obtemos:
Agora vamos tentar colocar tudo que tem pra um lado e tudo que tem pro outro:
Simplificando:
Agora vamos integrar ambos os lados da equação.
A integral da derivada de uma função, então . Além disso, nós conhecemos a integral de , que é . Então, só a falta a gente descobrir a integral de , vamos resolver ela separadamente.
Passo 4
Vamos começar a resolver a integral definindo:
Substituindo, vamos ter:
Integrando:
Como definimos , temos:
Então, voltando lá na nossa integral do passo , vamos ter:
Usando as propriedades de logaritmo e usando a exponencial, conseguimos simplificar nossa expressão:
Passo 5
Integrando mais uma vez, vamos descobrir o valor de :
Resolvendo por substituição, vamos chamar e teremos:
Voltando à variável :
Passo 6
Agora voltando à nossa solução geral, que definimos no passo , temos:
Como e , então nossa segunda solução é:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉