UFRJ. Cálculo 2. P1. 2022.1. Questão 6.
Considere a função , . Qual das seguintes equações é satisfeita pela função ?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, temos que descobrir qual EDO de segunda ordem é satisfeita pela solução .
Então você pode estar pensando “eu vou ter que obter a solução de todas essas EDO’s para ver qual solução é igual a ??” 👀
Seria uma ótima maneira de praticar o assunto, mas eu tenho uma ideia mais fácil. A gente deriva uma e duas vezes e substitui nas EDO’s, aquela que a igualdade for satisfeita, é nossa EDO!
O que você acha?? 😁
Bora lá!
Passo 2
Como nosso é dado por
Perceba que a função é formada pelo produto de duas funções e .
Dessa forma a derivada de uma função produto é obtida pela regra do produto
Ou seja
Pela regra da cadeia a derivada de é dada por
Já a derivada de é dada por
Substituindo esses resultados em
Agora aplicamos a segunda derivada . Neste caso é o produto de duas funções, então vamos aplicar a regra do produto novamente. Já é a razão entre duas funções, então aplicamos a regra do quociente.
Pela regrada cadeia
E como vimos anteriormente
Logo a derivada de é
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada de . Como dito anteriormente vamos aplicar a regra do quociente onde se e
Ou seja
Pela regra da cadeia
E a derivada de uma variável de ordem é a constante que a multiplica, logo
Juntando os resultados em
Com isso, obtemos , e
Agora substituímos nas EDO’s e verificamos a igualdade. Entendeu?
Passo 4
Para a EDO do item (a)
Simplificando a equação, temos
Foi quase, não é? Justo por causa de um sinal!
Vamos analisar a EDO (b)
Simplificando a equação
Novamente foi por pouco!
Vamos analisar a EDO do item (c)
Simplificando a equação
A igualdade foi satisfeita, não é?
Logo a alternativa correta é o item (c) já que sua EDO é satisfeita pela solução que foi nos dada.
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
(c)