UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2017.2, Questão 1b
Encontre a solução geral das equações:
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Temos que encontrar a solução da seguinte equação diferencial de segunda ordem
essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea, portanto, iremos começar encontrando a solução da parte homogênea, e então, tendo isso como base, propor uma solução particular para cada parte do termo inomogêneo. Vamos lá!
Passo 2
Para achar a solução da parte homogênea, precisamos escrever o polinômio característico desta equação, ele é tal que
portanto temos duas raízes da forma
portanto, temos raízes complexas conjugadas, lembra-se qual o formato da solução para este caso em particular? Saca só!
Passo 3
Para um polinômio característicos com raízes complexas conjugadas, temos que a solução é da forma
em que e são obtidos da raíz comparando-se com o formato usual de um número complexo , ou seja, temos que e , nossa solução é então
este é o formato geral da solução da parte homogênea! Vamos analisar agora as soluções particulares!
Passo 4
Temos que a parte inomogênea é formada por duas funções e , ou seja, respectivamente uma função trigonométrica e um polinômio de primeiro grau! Usando o método de coeficientes a determinar, devemos supor uma solução particular para função acima. Começando com a função trigonométrica, devemos propor uma solução que é combinação linear de senos e cossenos da seguinte forma
no entanto, esta solução já está presente em nossa solução da parte homogênea, desta forma, para contornar o problema, devemos multiplicar a solução acima por , devemos usar então que
precisamos derivar esta função duas vezes para substituirmos na equação diferencial, lembrando que
e
podemos usar a regra do produto para escrever a primeira derivada como
e, da mesma forma, a segunda derivada é
juntando alguns termos, temos que
Vamos substituir ambas as derivadas em nossa equação diferencial! Vem comigo!
Passo 5
Usando a equação diferencial, mas apenas para a parte inomogênea que estamos interessados no momento, temos que
precisamos igualar os coeficientes em ambos os lados da equação acima, e assim montar um sistema de equações para as constantes e , juntando tudo que carrega um seno e tudo que carrega um cosseno ( assim como e )individualmente, temos
Note que os termos que carregam se cancelam, restando apenas a relação
para que a igualdade seja possível temos que , e portanto , assim como , portanto . Nossa solução é então dada por
Vamos agora trabalhar com a segunda solução!
Passo 6
O segundo termo inomogêneo é um polinômio de primeiro grau, portanto, como não há polinômios de primeiro grau na solução da homogênea, iremos propor simplesmente
que é um polinômio de primeiro grau! Usando a regra do tombo para calcular as duas derivadas, obtemos
e, também
Nossa equação diferencial toma então a seguinte forma
ou simplesmente
de forma que temos e . A solução é então tal que
Uff… temos tudo que precisamos agora! Vamos escrever a nossa solução geral!
Passo 7
A solução geral será dada por
ou seja, temos que
Para encontrar as constantes e seria necessário avaliar condições iniciais que não foram dadas! Portanto, a questão fica por aqui! Tchau Tchau!