UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.1, questão 5 Múltipla Escolha
Escreva uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes, com solução geral da forma , onde e são constantes arbitrárias.
Não existe EDO com as propriedades requeridas.
Passo 1
Antes de mais nada vamos olhar as alternativas, elas nos indicam que a EDO é de segunda ordem com coeficientes constantes e homogênea
Nosso chute é uma EDO com essa cara aqui:
Agora, porque usamos ao invés de ?
Lembra qual é a solução geral ?
A gente precis montar uma equação do segundo grau da forma:
E resolver essa equação certo?
Então, escrevendo dessa forma o é a soma das raízes da equação e o é o produto!!
Ta, e ai?E aí que a solução é da forma
Por isso precisamos saber as raízes da equação
Agora temos um problema, se as raízes da equação são complexas, aparece um termo certo?
Então, se as raízes forem complexas, elas são da forma
E a solução é da forma
Passo 2
Vamos ajustar ao nosso caso, fazemos ,
Então as raízes são:
Passo 3
Agora vamos lembrar que é a soma das raízes e é o produto
Nossa equação característica é:
O que nos dá a EDO:
Então a correta é a letra !
Resposta
Letra