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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 10 - Função impulso unitário e convolução, Questão 1.3

Resolva os problemas de valor inicial:

3. y ' ' + 2 y ' + 2 y = e t δ ( t - 1 ) y 0 = 0 ; y ' 0 = 0

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Espero que sim pois agora iremos resolver umas queridas EDOs. Aqui o que iremos fazer é resolver essas EDOs por Laplace, pois é muito mais facil, rapido e prático. Pelo menos eu tenho essa impressão. O que iremos fazer aqui é passar tudo para o domínio da frequência, e após encontrarmos nossa solução é que iremos voltar para o domínio do tempo por meio da transformada inversa. Iremos utilizar bastante a tabela de Laplace então é bom que voce tenha uma dessas em mãos.

Chame de

y t = Y s

E das propriedades de derivação das transformadas

d y d t = s Y s - y 0 - = s Y s

E para

d 2 y d t 2 = s 2 Y s - s y 0 - - y ' 0 - = s 2 Y s - 0 - 0

Agora precisamos encontrar a transformada para

x s = e t δ t - 1

Passo 2

Temos então

X s = e - s + 1 s - 1

Agora iremos substituir os valores do domínio do tempo na edo para os no domínio da frequência,

s 2 Y s + 2 s Y s + 2 Y s = e - s + 1 s - 1

Y s s 2 + 2 s + 2 = e - s + 1 s - 1

Isolando o Y s

Y s = e - s + 1 ( s - 1 ) s 2 + 2 s + 2

Aqui é que a coisa fica interessante, para não dizer complicada. Temos que agora que voltar para o domínio do tempo calculando a integral inversa de Laplace.

Passo 3

Y s = e - s + 1 ( s - 1 ) s 2 + 2 s + 2

Separando

Y s = e - s ( s - 1 ) s 2 + 2 s + 2 + 1 ( s - 1 ) s 2 + 2 s + 2

Para a primeira

L - 1 e - s s - 1 s 2 + 2 s + 2 = δ t - 1 a s - 1 + a 2 s + a 1 s 2 + 2 s + 2 ( t - 1 )

Iremos ignorar δ t - 1 e ( t - 1 ) e focar na nossa fração parcial por hora,

Multiplicando pelo denominador,

( s - 1 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) ( s - 1 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) = a ( s - 1 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) s - 1 + ( a 2 s + a 1 ) ( s - 1 ) ( s 2 + 2 s + 2 ) s 2 + 2 s + 2

Simplificando

1 = a s 2 + 2 s + 2 + a 2 s + a 1 s - 1

a = 1 5

2 5 - a 1 = 1

2 5 - a 2 + a 1 = 0

1 5 + a 2 = 0

a 2 = - 1 5

a 1 = - 3 5

Colocando agora nos seus devidos lugares e simplificando

a s - 1 + a 2 s + a 1 s 2 + 2 s + 2 = 1 s - 1 5 + - s - 3 5 ( s 2 + 2 s + 2 )

Aqui iremos

L - 1 1 s - 1 5 = 1 5 e t

Agora para - s - 3 5 ( s 2 + 2 s + 2 ) teremos que manipular

- s - 3 5 ( s 2 + 2 s + 2 ) = 1 5 - s - 3 s + 1 2 + 1

- s - 3 5 ( s 2 + 2 s + 2 ) = 1 5 - ( s + 1 ) - 2 s + 1 2 + 1

- s - 3 5 ( s 2 + 2 s + 2 ) = 1 5 ( s + 1 ) s + 1 2 + 1 - 2 5 1 s + 1 2 + 1

Da nossa querida tabela

Então a transformada completa da nossa primeira equação fica

1 5 e t - 1 5 e - t cos ⁡ t - 2 5 e - t sin ⁡ t

Para a segunda iremos acabar repetindo a transformada que já fizemos, então o precisamos é organizar tudo

E

y t = δ t - 1 1 5 e t - 1 - 1 5 e - t + 1 cos ⁡ t - 1 - 2 5 e - t + 1 sin ⁡ t - 1 + 1 5 e t - 1 5 e - t cos ⁡ t - 2 5 e - t sin ⁡ t

Resposta

y t = δ t - 1 1 5 e t - 1 - 1 5 e - t + 1 cos ⁡ t - 1 - 2 5 e - t + 1 sin ⁡ t - 1 + 1 5 e t - 1 5 e - t cos ⁡ t - 2 5 e - t sin ⁡ t

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