Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial:
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
Observando nossa EDO, nós vemos que ela é uma EDO de segunda ordem homogênea, o que já facilita pra gente. Porque nós sabemos que quando tivermos uma EDO do tipo:
Nós vamos encontrar a seguinte equação auxiliar (ou equação característica):
E depois que descobrimos o encontramos o . Dependendo das raízes que encontrarmos nessa equação do segundo grau, vamos ter tipos de soluções diferentes. Vamos ver!
Passo 2
A nossa equação diferencial é:
O que nos dá equação característica:
As raízes são obtidas através de:
E o discriminante é dado por:
E aí, relembrando rapidamente,
Caso , teremos duas raízes reais e distintas () e solução na forma:
Caso , teremos duas raízes reais e iguais () e solução:
Caso , teremos duas raízes complexas () e:
Vamos ver em qual tipo nossa EDO se encaixa.
Passo 3
Calculando o delta para , temos:
Delta é positivo, ou seja . Logo, teremos duas raízes reais e distintas. Calculando as raízes:
Ou seja, temos e . E nossa solução tem a forma:
Substituindo as raízes:
E achamos nossa solução. Valeu, galera! 😉