UnB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fixação de C2 - MAT - Lista da Semana 10, Questão 2b
Determine a solução de cada um dos seguintes PVI’s:
(b) e
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem. E quando temos uma EDO desse tipo, que tem a forma geral:
Nós vamos encontrar a solução geral resolvendo a equação auxiliar:
Assim, quando descobrimos as raízes e da equação auxiliar, encontramos a solução de acordo com as condições:
- Se tivermos duas raízes reais e distintas (), nossa solução terá a forma:
- Se tivermos duas raízes reais e iguais (), nossa solução é do tipo:
- E se temos raízes complexas (), nossa solução terá a forma:
Então, vamos verificar em qual dos casos cai nossa EDO e substituir os valores dados no PVI para encontrar as constante e .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação auxiliar da nossa EDO:
Como , e , nossa equação auxiliar será:
Usando Bháskara para encontrar as raízes da equação, temos:
Como temos uma raiz quadrada negativa, nossa solução vai está no conjunto dos números complexos (). Assim, temos:
Passo 3
Como essas raízes são complexas, então como vimos lá no passo , nossa solução tem a forma:
Substituindo e , temos:
Passo 4
Agora vamos descobrir o valor das constantes e usando as condições iniciais e . Então, substituindo e na solução geral, temos:
Logo,
Agora vamos derivar a solução geral para obter:
Então substituindo e , temos:
Portanto, nossa solução será:
Essa é a solução geral da nossa EDO.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉