Determine a solução de cada um dos seguintes PVI’s:

(b) y ' ' + 4 y = 0 ,     y 0 = 0 e y ' 0 = 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem. E quando temos uma EDO desse tipo, que tem a forma geral:

a y ' ' x + b y ' x + c y x = 0

Nós vamos encontrar a solução geral y ( x ) resolvendo a equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

Assim, quando descobrimos as raízes r 1 e r 2 da equação auxiliar, encontramos a solução y ( x ) de acordo com as condições:

- Se tivermos duas raízes reais e distintas ( r 1 ≠ r 2 ), nossa solução terá a forma:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

- Se tivermos duas raízes reais e iguais ( r 1 = r 2 = r ), nossa solução é do tipo:

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

- E se temos raízes complexas ( r = α ± β i ), nossa solução terá a forma:

y x = e α x ( c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ ( β x ) )

Então, vamos verificar em qual dos casos cai nossa EDO e substituir os valores dados no PVI para encontrar as constante c 1 e c 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação auxiliar da nossa EDO:

y ' ' + 4 y = 0

Como a = 1 , b = 0 e c = 4 , nossa equação auxiliar será:

a r 2 + b r + c = 0

r 2 + 4 = 0

Usando Bháskara para encontrar as raízes da equação, temos:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - 0 ± 0 - 4 ( 1 ) ( 4 ) 2 ( 1 ) = 0 ± - 16 2

Como temos uma raiz quadrada negativa, nossa solução vai está no conjunto dos números complexos ( r = α ± β i ). Assim, temos:

r = 0 ± 4 i 2 = 0 ± 2 i

Passo 3

Como essas raízes são complexas, então como vimos lá no passo 1 , nossa solução tem a forma:

y x = e α x ( c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ ( β x ) )

Substituindo   α = 0 e β = 2 , temos:

y x = e 0 ( c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sin ⁡ ( 2 x ) )

y x = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 sin ⁡ ( 2 x )

Passo 4

Agora vamos descobrir o valor das constantes c 1 e c 2 usando as condições iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 . Então, substituindo x = 0 e y = 0 na solução geral, temos:

0 = c 1 cos ⁡ 2 ∙ 0 + c 2 sin ⁡ ( 2 ∙ 0 )

0 = c 1 ∙ ( 1 ) + 0

Logo,

c 1 = 0

Agora vamos derivar a solução geral para obter:

y ' = - 2 c 1 sin ⁡ 2 x + 2 c 2 cos ⁡ ( 2 x )

Então substituindo x = 0 e y ' = 1 , temos:

1 = - 2 c 1 sin ⁡ 2 ∙ 0 + 2 c 2 cos ⁡ ( 2 ∙ 0 )

2 c 2 = 1 → c 2 = 1 2

Portanto, nossa solução será:

y x = 0 ∙ cos ��� 2 x + c 2 sin ⁡ ( 2 x )

y x = 1 2 sin ⁡ ( 2 x )

Essa é a solução geral da nossa EDO.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y x = 1 2 sin ⁡ ( 2 x )

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