Seja a equação diferencial Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(a) A função é a única solução de verificando e .
(b) O real é raiz simples da equação característica associada.
(c) A função é uma solução de verificando e .
(d) A função é solução de .
(e) Nenhuma das outras alternativas.
Passo 1
Dando uma olhada nas alternativas, parece que o melhor jeito de proceder é resolver a EDO mesmo (nem sempre é o caso!). Então partiu!
já está na forma com , e .
Então o discriminante é:
E a equação auxiliar:
Como , a solução é da forma
Passo 2
Beleza, agora vamos testar as alternativas uma por uma:
Alternativa (a):
Ela dá a função . Podemos ver que ela se encaixa na forma que a gente achou:
Ou seja, essa é solução da EDO.
Agora resta saber se essa é a única solução respeitando as condições e .
Vamos calcular a derivada da solução que achamos:
Ou seja:
E como :
Concluímos que a função dada pela alternativa (a) realmente é a única solução da EDO verificando e . Portanto a alternativa é verdadeira.
Passo 3
Alternativa (b):
Ela diz: “O real é raiz simples da equação característica associada.”
A equação característica é
Podemos ver que é uma raiz dupla, e não simples, da equação, portanto a alternativa é falsa.
Passo 4
Alternativa (c):
Vimos no passo 2 que a única função solução da EDO verificando verificando e é a da alternativa (a). Portanto essa alternativa é falsa.
Passo 5
Alternativa (d):
Ela afirma que “a função é solução de ”. Nós achamos a forma geral de solução da EDO, que é
A função não se encaixa na forma que achamos (tem um termo ), então a alternativa (d) é falsa.
E a alternativa (e) também está errada porque vimos que a (a) está certa.
Resposta
Alternativa (a)