MHS
Um bloco de preso a uma mola oscila com frequência de e a amplitude de seu movimento é de .
Encontre o valor da constante elástica da mola, o valor máximo da velocidade do bloco e a energia total do sistema bloco-mola.
Encontre os módulos da velocidade e da aceleração do bloco quando ele passa pela posição .
Determine o menor tempo que o bloco leva para ir de até a posição
Em que posição a energia potencial elástica é metade da energia cinética?
Passo 1
Sabemos que o movimento harmônico simples tem a seguinte equação da posição em função do tempo:
Pelas informações dadas no enunciado, temos que a amplitude , será:
E que a frequência angular será dada por:
A nossa equação ficará:
Perceba que estou considerando .
Agora que temos a equação do movimento, vamos calcular a sua primeira derivada, pois assim teremos a equação da velocidade em função do tempo:
Vamos calcular também a segunda derivada para obter a equação da aceleração em função do tempo:
Agora que temos as equações que regem o movimento, vamos calcular o que é pedido!
Passo 2
Para determinar a constante elástica, precisamos relembrar da seguinte relação:
Substituindo os valores, temos:
Passo 3
Pela equação da velocidade, vemos que seu valor será máximo quando, ) for igual a , quando isso ocorrer, temos que a velocidade será:
Passo 4
Para determinar a energia total do sistema, é mais simples determiná-la quando ela é puramente cinética ou puramente potencial elástica. Ela será puramente cinética quando a velocidade é máxima, e puramente potencial elástica quando a amplitude é máxima. Sabendo que a amplitude máxima é , temos:
Poderíamos também calcular usando o ponto onde a velocidade é máxima, nesse caso teríamos , fazendo a conta você deve achar o mesmo valor acima!
Passo 5
Para determinar a velocidade e a aceleração para quando , precisamos determinar em que tempo o bloco se encontra nessa posição. Pois com essa informação, podemos calcular o que é pedido, pois já tempos as duas equações em função do tempo!
Ou seja:
Agora que temos o tempo, podemos calcular a velocidade e a aceleração, se liga!
Perceba que transformei o argumento do angulo de radianos para graus! Fique esperto!
Faremos agora o mesmo para a aceleração!
Passo 6
Para determinar o tempo que o bloco leva de até , vamos usar a equação do movimento e determinar o tempo, se liga!
Para que isso ocorra, devemos ter , ou seja:
Como ele quer o menor tempo, devemos utilizar o primeiro angulo depois de que satisfaça a equação abaixo!
Para que isso ocorra, devemos ter
O tempo necessário será:
Passo 7
Para calcular a posição onde a energia potencial elástica é metade da energia cinética, iremos utilizar a definição de energia mecânica, tendo em vista que já sabemos a energia mecânica do sistema:
No caso, teremos , então:
Substituindo os valores conhecidos, temos:
Resposta
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